Elementarmathematik Beispiele

$2 x^{2} + y^{2} - 12 x + 2 y - 1 = 0$

Schritt 1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + y^{2} - 12 x + 2 y = 1$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $2 x^{2} - 12 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = - 12$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (2)}$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{1}$

Schritt 2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$d = - 3$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{8}$

Schritt 2.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 18$

Schritt 2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$e = 0 - 18$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $18$ von $0$ .

$e = - 18$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x - 3)}^{2} - 18$ ein.

$2 {(x - 3)}^{2} - 18$

Schritt 3

Setze $2 {(x - 3)}^{2} - 18$ für $2 x^{2} - 12 x$ ein in der Gleichung $2 x^{2} + y^{2} - 12 x + 2 y = 1$ .

$2 {(x - 3)}^{2} - 18 + y^{2} + 2 y = 1$

Schritt 4

Bringe $- 18$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $18$ auf beiden Seiten.

$2 {(x - 3)}^{2} + y^{2} + 2 y = 1 + 18$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 2 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 1)}^{2} - 1$ ein.

${(y + 1)}^{2} - 1$

Schritt 6

Setze ${(y + 1)}^{2} - 1$ für $y^{2} + 2 y$ ein in der Gleichung $2 x^{2} + y^{2} - 12 x + 2 y = 1$ .

$2 {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 1 + 18$

Schritt 7

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

$2 {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1 + 18 + 1$

Schritt 8

Vereinfache $1 + 18 + 1$ .

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Schritt 8.1

Addiere $1$ und $18$ .

$2 {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 19 + 1$

Schritt 8.2

Addiere $19$ und $1$ .

$2 {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 20$

Schritt 9

Teile jeden Term durch $20$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{2 {(x - 3)}^{2}}{20} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{20} = \frac{20}{20}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{10} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{20} = 1$