Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Schritt 2

Subtrahiere Brüche.

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Schritt 2.1

Um $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Schritt 2.2

Um $- \frac{1}{1 + \cos (θ)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ mit $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + \cos (θ)}$ mit $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ um.

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + \cos (θ) - (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 \cdot 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $- - \cos (θ)$ .

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + 1 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + \cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 3.4

Addiere $\cos (θ)$ und $\cos (θ)$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 4

Vereinfache Nenner.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Schritt 6

Schreibe $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$ als $2 \cot (θ) \csc (θ)$ um.

$2 \cot (θ) \csc (θ)$

Schritt 7

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$ ist eine Identitätsgleichung