Elementarmathematik Beispiele

$a = 18$ , $b = 20$ , $c = 13$

Schritt 1

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$A = \arccos (\frac{{(20)}^{2} + {(13)}^{2} - {(18)}^{2}}{2 (20) (13)})$

Schritt 4

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{400 + 13^{2} - 18^{2}}{2 (20) \cdot 13})$

Schritt 4.1.2

Potenziere $13$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{400 + 169 - 18^{2}}{2 (20) \cdot 13})$

Schritt 4.1.3

Potenziere $18$ mit $2$ .

$A = \arccos (\frac{400 + 169 - 1 \cdot 324}{2 (20) \cdot 13})$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $324$ .

$A = \arccos (\frac{400 + 169 - 324}{2 (20) \cdot 13})$

Schritt 4.1.5

Addiere $400$ und $169$ .

$A = \arccos (\frac{569 - 324}{2 (20) \cdot 13})$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $324$ von $569$ .

$A = \arccos (\frac{245}{2 (20) \cdot 13})$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $20$ .

$A = \arccos (\frac{245}{40 \cdot 13})$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $40$ mit $13$ .

$A = \arccos (\frac{245}{520})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $245$ und $520$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $5$ aus $245$ heraus.

$A = \arccos (\frac{5 (49)}{520})$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $520$ heraus.

$A = \arccos (\frac{5 \cdot 49}{5 \cdot 104})$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A = \arccos (\frac{5 \cdot 49}{5 \cdot 104})$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A = \arccos (\frac{49}{104})$

Schritt 4.4

Berechne $\arccos (\frac{49}{104})$ .

$A = 61.89077871$

Schritt 5

Verwende den Kosinussatz, um die unbekannte Seite des Dreiecks zu bestimmen, wenn die anderen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Schritt 6

Löse die Gleichung.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Schritt 7

Setze die bekannten Werte in die Gleichung ein.

$B = \arccos (\frac{{(18)}^{2} + {(13)}^{2} - {(20)}^{2}}{2 (18) (13)})$

Schritt 8

Vereinfache die Ergebnisse.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $18$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{324 + 13^{2} - 20^{2}}{2 (18) \cdot 13})$

Schritt 8.1.2

Potenziere $13$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{324 + 169 - 20^{2}}{2 (18) \cdot 13})$

Schritt 8.1.3

Potenziere $20$ mit $2$ .

$B = \arccos (\frac{324 + 169 - 1 \cdot 400}{2 (18) \cdot 13})$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $400$ .

$B = \arccos (\frac{324 + 169 - 400}{2 (18) \cdot 13})$

Schritt 8.1.5

Addiere $324$ und $169$ .

$B = \arccos (\frac{493 - 400}{2 (18) \cdot 13})$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $400$ von $493$ .

$B = \arccos (\frac{93}{2 (18) \cdot 13})$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$B = \arccos (\frac{93}{36 \cdot 13})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $36$ mit $13$ .

$B = \arccos (\frac{93}{468})$

Schritt 8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $93$ und $468$ .

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $3$ aus $93$ heraus.

$B = \arccos (\frac{3 (31)}{468})$

Schritt 8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $468$ heraus.

$B = \arccos (\frac{3 \cdot 31}{3 \cdot 156})$

Schritt 8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B = \arccos (\frac{3 \cdot 31}{3 \cdot 156})$

Schritt 8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$B = \arccos (\frac{31}{156})$

Schritt 8.4

Berechne $\arccos (\frac{31}{156})$ .

$B = 78.53800182$

Schritt 9

Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ist $180$ Grad.

$61.89077871 + C + 78.53800182 = 180$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Addiere $61.89077871$ und $78.53800182$ .

$C + 140.42878054 = 180$

Schritt 10.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $140.42878054$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 180 - 140.42878054$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $140.42878054$ von $180$ .

$C = 39.57121945$

Schritt 11

Dies sind die Ergebnisse für alle Winkel und Seiten des gegebenen Dreiecks.

$A = 61.89077871$

$B = 78.53800182$

$C = 39.57121945$

$a = 18$

$b = 20$

$c = 13$