Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 5$

$b = \sqrt{7}$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 5

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(\sqrt{7})}^{2}}}{5}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - {\sqrt{7}}^{2}}}{5}$

Schritt 6.2

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 6.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{25 - {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Schritt 6.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Schritt 6.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{25 - 7^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Schritt 6.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{25 - 7^{1}}}{5}$

Schritt 6.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 7}}{5}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{\sqrt{25 - 7}}{5}$

Schritt 6.4

Subtrahiere $7$ von $25$ .

$\frac{\sqrt{18}}{5}$

Schritt 6.5

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{\sqrt{9 (2)}}{5}$

Schritt 6.5.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}{5}$

Schritt 6.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 \sqrt{2}}{5}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 \sqrt{2}}{5}$

Dezimalform:

$0.84852813 \dots$

Schritt 8