Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{2} - 3$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 3$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{2} - 3}{x - 3}$ an mit $x = 3$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$1$	$0$	$- 3$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$1$	$0$	$- 3$

	$1$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 3$
		$3$
	$1$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$- 3$
		$3$
	$1$	$3$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 3$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$- 3$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$6$

Schritt 2.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(1) x + 3 + \frac{6}{x - 3}$

Schritt 2.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x + 3 + \frac{6}{x - 3}$

Schritt 3

Da $3 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $3$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $3$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{2} - 3}{x + 3}$ an mit $x = - 3$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$

	$1$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$
	$1$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$
	$1$	$- 3$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 3)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$	$9$
	$1$	$- 3$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$1$	$0$	$- 3$
		$- 3$	$9$
	$1$	$- 3$	$6$

Schritt 4.7

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$(1) x - 3 + \frac{6}{x + 3}$

Schritt 4.8

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x - 3 + \frac{6}{x + 3}$

Schritt 5

Da $- 3 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 3$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 3$

Schritt 6

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranke: $3$

Untere Schranke: $- 3$

Schritt 7