Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\frac{x}{2 x - 1} - 1$ .

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Schritt 2.1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Schritt 2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.2.1

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x}{2 x - 1} + \frac{- (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Schritt 2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Schritt 2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - (2 x) - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Schritt 2.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{x - 2 x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Schritt 2.1.3.4

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{- x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Schritt 2.1.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Schritt 2.1.4.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Schritt 2.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Schritt 2.1.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.4.4.1

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$\frac{- 1 (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Schritt 2.1.4.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Schritt 2.2

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 1, \frac{1}{2}$

Schritt 2.8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x}{2 x - 1} - 1$ .

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Schritt 2.8.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{2 x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 1 = 0$

Schritt 2.8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.8.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 2.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 2.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Schritt 2.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.10.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{0}{2 (0) - 1} - 1 \geq 0$

Schritt 2.10.1.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.10.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.75$

Schritt 2.10.2.2

Ersetze $x$ durch $0.75$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{0.75}{2 (0.75) - 1} - 1 \geq 0$

Schritt 2.10.2.3

Die linke Seite $0.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.10.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4}{2 (4) - 1} - 1 \geq 0$

Schritt 2.10.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{428571}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < \frac{1}{2}$ Falsch

$\frac{1}{2} < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 2.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{1}{2} < x \leq 1$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x}{2 x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 1 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(\frac{1}{2}, 1]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | \frac{1}{2} < x \leq 1}$

Schritt 6