Elementarmathematik Beispiele

$\sin (θ) + \cos (θ) \cot (θ) = \csc (θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\sin (θ) + \cos (θ) \cot (θ)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cot (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (θ) + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 2.2

Multipliziere $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\cos (θ)$ und $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 2.2.3

Potenziere $\cos (θ)$ mit $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)}$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 3

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\sin (θ) + \frac{1 - \sin^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sin (θ) + \frac{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}{\sin (θ)}$

Schritt 4.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \sin (θ)$ .

$\sin (θ) + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)}$

Schritt 4.2

Um $\sin (θ)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ) + (1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

$\frac{1}{\sin (θ)}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{1}{\sin (θ)}$ als $\csc (θ)$ um.

$\csc (θ)$

Schritt 6

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\sin (θ) + \cos (θ) \cot (θ) = \csc (θ)$ ist eine Identitätsgleichung