Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x - 5}{x + 3} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 5$

$x = - 3$

Schritt 5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 5, - 3$

Schritt 6

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x - 5}{x + 3}$ .

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 5}{x + 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) - 5}{(- 6) + 3} \geq 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $3.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) - 5}{(0) + 3} \geq 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 1.\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(8) - 5}{(8) + 3} \geq 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $0.\overline{27}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 5$ Falsch

$x > 5$ Wahr

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 3$ oder $x \geq 5$

Schritt 10

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 3) \cup [5, \infty)$

Schritt 11