Elementarmathematik Beispiele

$x - \frac{15}{x} < - 2$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $x - \frac{15}{x} < - 2$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $x - \frac{15}{x} < - 2$ mit $x$ .

$x \cdot x - \frac{15}{x} x < - 2 x$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - \frac{15}{x} x < - 2 x$

Schritt 2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{15}{x}$ in den Zähler.

$x^{2} + \frac{- 15}{x} x < - 2 x$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{- 15}{x} x < - 2 x$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 15 < - 2 x$

Schritt 3

Löse die Ungleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $2 x$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} - 15 + 2 x < 0$

Schritt 3.2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} - 15 + 2 x = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $x^{2} - 15 + 2 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 3.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.6

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 5$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $x - \frac{15}{x} + 2$ .

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{15}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 8) - \frac{15}{- 8} < - 2$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $- 6.125$ ist kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) - \frac{15}{- 2} < - 2$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $5.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2) - \frac{15}{2} < - 2$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $- 5.5$ ist kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 6.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(6) - \frac{15}{6} < - 2$

Schritt 6.4.3

Die linke Seite $3.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 5$ oder $0 < x < 3$

Schritt 8

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 3)$

Schritt 9