Elementarmathematik Beispiele

$\log (x) + \log (x + 1) = \log (x + 5)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x + 1)) = \log (x + 5)$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot 1) = \log (x + 5)$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 1) = \log (x + 5)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\log (x^{2} + x) = \log (x + 5)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} + x = x + 5$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x - x = 5$

Schritt 3.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + x - x$ .

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Schritt 3.1.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$x^{2} + 0 = 5$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} = 5$

Schritt 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 3.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 3.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x) + \log (x + 1) = \log (x + 5)$ nicht erfüllen.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 2.23606797 \dots$