Elementarmathematik Beispiele

$\log (8) + 3 \log (x) = 3$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log (8) + 3 \log (x) = 3$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\log (8) + 3 \log (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $3 \log (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (8) + \log (x^{3}) = 3$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (8 x^{3}) = 3$

Schritt 3

Schreibe $\log (8 x^{3}) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{3} = 8 x^{3}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $8 x^{3} = 10^{3}$ um.

$8 x^{3} = 10^{3}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $10^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{3} - 10^{3} = 0$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Potenziere $10$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 1 \cdot 1000 = 0$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1000$ .

$8 x^{3} - 1000 = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{3} - 1000$ heraus.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{3}$ heraus.

$8 (x^{3}) - 1000 = 0$

Schritt 4.4.1.2

Faktorisiere $8$ aus $- 1000$ heraus.

$8 x^{3} + 8 \cdot - 125 = 0$

Schritt 4.4.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{3} + 8 \cdot - 125$ heraus.

$8 (x^{3} - 125) = 0$

Schritt 4.4.2

Schreibe $125$ als $5^{3}$ um.

$8 (x^{3} - 5^{3}) = 0$

Schritt 4.4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$8 ((x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})) = 0$

Schritt 4.4.4

Faktorisiere.

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Schritt 4.4.4.1

Vereinfache.

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Schritt 4.4.4.1.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$8 ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})) = 0$

Schritt 4.4.4.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$8 ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = 0$

Schritt 4.4.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$8 (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Schritt 4.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Schritt 4.6

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 4.6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4.7

Setze $x^{2} + 5 x + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.1

Setze $x^{2} + 5 x + 25$ gleich $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Schritt 4.7.2

Löse $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 5$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.2.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Schritt 4.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.3.1.3

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.3.1.4

Schreibe $- 75$ als $- 1 (75)$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (75)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.3.1.7

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.3.1.7.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.3.1.9

Bringe $5$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $8 (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$