Elementarmathematik Beispiele

$\ln (e^{3 x}) - \ln (e^{2}) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{e^{3 x}}{e^{2}}) = 2$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{e^{3 x}}{e^{2}}$ als $e^{3 x} {(e^{2})}^{- 1}$ um.

$\ln (e^{3 x} {(e^{2})}^{- 1}) = 2$

Schritt 1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (e^{3 x} e^{2 \cdot - 1}) = 2$

Schritt 1.4

Schreibe $\ln (e^{3 x} e^{2 \cdot - 1})$ als $\ln (e^{3 x}) + \ln (e^{2 \cdot - 1})$ um.

$\ln (e^{3 x}) + \ln (e^{2 \cdot - 1}) = 2$

Schritt 1.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $3 x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$3 x \ln (e) + \ln (e^{2 \cdot - 1}) = 2$

Schritt 1.6

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$3 x \cdot 1 + \ln (e^{2 \cdot - 1}) = 2$

Schritt 1.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 x + \ln (e^{2 \cdot - 1}) = 2$

Schritt 1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $2 \cdot - 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$3 x + 2 \cdot (- 1 \ln (e)) = 2$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x - 2 \ln (e) = 2$

Schritt 1.8.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$3 x - 2 \cdot 1 = 2$

Schritt 1.8.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$3 x - 2 = 2$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2 + 2$

Schritt 2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$3 x = 4$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{4}{3}$

Dezimalform:

$x = 1.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 1 \frac{1}{3}$