Elementarmathematik Beispiele

$\log (x^{2} - 1) - \log (12) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1}{12}) = 1$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{12}) = 1$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{12}) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10^{1}$ um.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 10$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $12$ .

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 \frac{(x + 1) (x - 1)}{12} = 12 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(x + 1) (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.3.1.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 12 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.3.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.3.1.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.3.1.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.3.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.3.1.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} - x + x - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.3.1.1.3.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$x^{2} + 0 - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.3.1.1.3.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} - 1 = 12 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Move the decimal point in $12$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{1}$ by $1$ .

$x^{2} - 1 = 1.2 \cdot 10^{2}$

Schritt 3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1$

Schritt 3.4.2

Convert $1$ to scientific notation.

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 1 \cdot 10^{0}$

Schritt 3.4.3

Move the decimal point in $1$ to the left by $2$ places and increase the power of $10^{0}$ by $2$ .

$x^{2} = 1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere $10^{2}$ aus $1.2 \cdot 10^{2} + 0.01 \cdot 10^{2}$ heraus.

$x^{2} = (1.2 + 0.01) \cdot 10^{2}$

Schritt 3.4.5

Addiere $1.2$ und $0.01$ .

$x^{2} = 1.21 \cdot 10^{2}$

Schritt 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$

Schritt 3.6

Vereinfache $\pm \sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ .

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Schritt 3.6.1

Schreibe $\sqrt{1.21 \cdot 10^{2}}$ als $\sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$ um.

$x = \pm \sqrt{1.21} \cdot \sqrt{10^{2}}$

Schritt 3.6.2

Berechne die Wurzel.

$x = \pm 1.1 \cdot \sqrt{10^{2}}$

Schritt 3.6.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 1.1 \cdot 10$

Schritt 3.6.4

Potenziere $10$ mit $1$ .

$x = \pm 1.1 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1.1 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1.1 \cdot 10^{1}$

Schritt 3.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Wissenschaftliche Schreibweise:

$x = 1.1 \cdot 10^{1}, - 1.1 \cdot 10^{1}$

Ausmultiplizierte Form:

$x = 11, - 11$