Elementarmathematik Beispiele

$5 e^{x} = \ln (4)$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $5 e^{x} = \ln (4)$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 e^{x} = \ln (4)$ durch $5$ .

$\frac{5 e^{x}}{5} = \frac{\ln (4)}{5}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 e^{x}}{5} = \frac{\ln (4)}{5}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $e^{x}$ durch $1$ .

$e^{x} = \frac{\ln (4)}{5}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\frac{\ln (4)}{5}$ als $\frac{1}{5} \ln (4)$ um.

$e^{x} = \frac{1}{5} \ln (4)$

Schritt 1.3.2

Vereinfache $\frac{1}{5} \ln (4)$ , indem du $\frac{1}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{x} = \ln (4^{\frac{1}{5}})$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\ln (4^{\frac{1}{5}}))$

Schritt 3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\ln (4^{\frac{1}{5}}))$

Schritt 3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\ln (4^{\frac{1}{5}}))$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\ln (4^{\frac{1}{5}}))$

Schritt 4

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 4.1

Zerlege $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{5}$ aus dem Logarithmus.

$x = \ln (\frac{1}{5} \ln (4))$

Schritt 4.2

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$x = \ln (\frac{1}{5} \ln (2^{2}))$

Schritt 4.3

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$x = \ln (\frac{1}{5} (2 \ln (2)))$

Schritt 4.4

Multipliziere $\frac{1}{5} (2 \ln (2))$ .

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Schritt 4.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{5}$ .

$x = \ln (\frac{2}{5} \ln (2))$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $\ln (2)$ .

$x = \ln (\frac{2 \ln (2)}{5})$

Schritt 4.5

Schreibe $\ln (\frac{2 \ln (2)}{5})$ als $\ln (2 \ln (2)) - \ln (5)$ um.

$x = \ln (2 \ln (2)) - \ln (5)$

Schritt 4.6

Schreibe $\ln (2 \ln (2))$ als $\ln (2) + \ln (\ln (2))$ um.

$x = \ln (2) + \ln (\ln (2)) - \ln (5)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x = \ln (2 \ln (2)) - \ln (5)$

Schritt 5.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x = \ln (\frac{2 \ln (2)}{5})$

Schritt 5.3

Vereinfache $2 \ln (2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x = \ln (\frac{\ln (2^{2})}{5})$

Schritt 5.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \ln (\frac{\ln (4)}{5})$

Schritt 5.5

Schreibe $\frac{\ln (4)}{5}$ als $\frac{1}{5} \ln (4)$ um.

$x = \ln (\frac{1}{5} \ln (4))$

Schritt 5.6

Vereinfache $\frac{1}{5} \ln (4)$ , indem du $\frac{1}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$x = \ln (\ln (4^{\frac{1}{5}}))$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (\ln (4^{\frac{1}{5}}))$

Dezimalform:

$x = - 1.28280365 \dots$