Elementarmathematik Beispiele

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5 + 0$

Schritt 2

Addiere $5$ und $0$ .

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Vereinfache $4 \log_{3} (2 x)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} ({(2 x)}^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Schritt 3.1.1.2

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$\log_{3} (2^{4} x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Schritt 3.1.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\log_{3} (16 x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Schritt 3.1.1.4

Vereinfache $8 \log_{3} (x)$ , indem du $8$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (16 x^{4}) + \log_{3} (x^{8}) = 5$

Schritt 3.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (16 x^{4} x^{8}) = 5$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.3.1

Bewege $x^{8}$ .

$\log_{3} (16 (x^{8} x^{4})) = 5$

Schritt 3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{3} (16 x^{8 + 4}) = 5$

Schritt 3.1.3.3

Addiere $8$ und $4$ .

$\log_{3} (16 x^{12}) = 5$

Schritt 4

Schreibe $\log_{3} (16 x^{12}) = 5$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{5} = 16 x^{12}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $16 x^{12} = 3^{5}$ um.

$16 x^{12} = 3^{5}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $16 x^{12} = 3^{5}$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $16 x^{12} = 3^{5}$ durch $16$ .

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x^{12}$ durch $1$ .

$x^{12} = \frac{3^{5}}{16}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$x^{12} = \frac{243}{16}$

Schritt 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$

Schritt 5.4

Vereinfache $\pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ .

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Schritt 5.4.1

Schreibe $\sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ als $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.2.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{2^{4}}}$

Schritt 5.4.2.2

Schreibe $\sqrt[12]{2^{4}}$ als $\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}}$

Schritt 5.4.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 5.4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 5.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 5.4.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 5.4.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.4.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 5.4.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 5.4.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.4.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.4.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.4.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.4.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 5.4.4.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 5.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 5.4.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 5.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.6.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $12$ .

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Schritt 5.4.6.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Schritt 5.4.6.1.2

Schreibe $4^{\frac{1}{3}}$ als $4^{\frac{4}{12}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{4}{12}}}{2}$

Schritt 5.4.6.1.3

Schreibe $4^{\frac{4}{12}}$ als $\sqrt[12]{4^{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[12]{4^{4}}}{2}$

Schritt 5.4.6.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 4^{4}}}{2}$

Schritt 5.4.6.3

Potenziere $4$ mit $4$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 256}}{2}$

Schritt 5.4.7

Mutltipliziere $243$ mit $256$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Schritt 5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Schritt 5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Schritt 5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}, - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Dezimalform:

$x = 1.25446107 \dots$