Elementarmathematik Beispiele

$2 \log (x - 1) = \log (x + 1)$

Schritt 1

Vereinfache $2 \log (x - 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log ({(x - 1)}^{2}) = \log (x + 1)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

${(x - 1)}^{2} = x + 1$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x - 1)}^{2} - x = 1$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$(x - 1) (x - 1) - x = 1$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) - x = 1$

Schritt 3.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - x = 1$

Schritt 3.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - x = 1$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - x = 1$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - x = 1$

Schritt 3.1.2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - x = 1$

Schritt 3.1.2.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - x = 1$

Schritt 3.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 - x = 1$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - x = 1$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $x$ von $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 1$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x + 1 - 1 = 0$

Schritt 3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} - 3 x + 1 - 1$ .

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$x^{2} - 3 x + 0 = 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $x^{2} - 3 x$ und $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \cdot x - 3 x = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 3$ heraus.

$x (x - 3) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.7

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $2 \log (x - 1) = \log (x + 1)$ nicht erfüllen.

$x = 3$