Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{4} + 3}{4 x^{4}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{4}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{4} + 3}{x^{4}}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{4}$ ist.

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{3}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{3}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 3.1.2

Dividiere $9$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{3}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{3}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}}}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{3}{x^{4}}}{1}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{3}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 3.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{4}}$ $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{9 + 3 \cdot 0}{1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.2.1

Dividiere $9 + 3 \cdot 0$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} (9 + 3 \cdot 0)$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1}{4} (9 + 0)$

Schritt 5.2.3

Addiere $9$ und $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 9$

Schritt 5.2.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $9$ .

$\frac{9}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{9}{4}$

Dezimalform:

$2.25$