Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (x + 3) = 4 + \log_{5} (x - 5)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{5} (x + 3) - \log_{5} (x - 5) = 4$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{x + 3}{x - 5}) = 4$

Schritt 3

Schreibe $\log_{5} (\frac{x + 3}{x - 5}) = 4$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$5^{4} = \frac{x + 3}{x - 5}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 3 = 5^{4} (x - 5)$

Schritt 5

Vereinfache $5^{4} (x - 5)$ .

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Schritt 5.1

Potenziere $5$ mit $4$ .

$x + 3 = 625 (x - 5)$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 3 = 625 x + 625 \cdot - 5$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $625$ mit $- 5$ .

$x + 3 = 625 x - 3125$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $625 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 3 - 625 x = - 3125$

Schritt 6.2

Subtrahiere $625 x$ von $x$ .

$- 624 x + 3 = - 3125$

Schritt 7

Faktorisiere $3$ aus $- 624 x + 3$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 624 x$ heraus.

$3 (- 208 x) + 3 = - 3125$

Schritt 7.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$3 (- 208 x) + 3 (1) = - 3125$

Schritt 7.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 208 x) + 3 (1)$ heraus.

$3 (- 208 x + 1) = - 3125$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $3 (- 208 x + 1) = - 3125$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (- 208 x + 1) = - 3125$ durch $3$ .

$\frac{3 (- 208 x + 1)}{3} = \frac{- 3125}{3}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 208 x + 1)}{3} = \frac{- 3125}{3}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $- 208 x + 1$ durch $1$ .

$- 208 x + 1 = \frac{- 3125}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 208 x + 1 = - \frac{3125}{3}$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 208 x = - \frac{3125}{3} - 1$

Schritt 9.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 208 x = - \frac{3125}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 9.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 208 x = - \frac{3125}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 208 x = \frac{- 3125 - 1 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 208 x = \frac{- 3125 - 3}{3}$

Schritt 9.5.2

Subtrahiere $3$ von $- 3125$ .

$- 208 x = \frac{- 3128}{3}$

Schritt 9.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 208 x = - \frac{3128}{3}$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $- 208 x = - \frac{3128}{3}$ durch $- 208$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $- 208 x = - \frac{3128}{3}$ durch $- 208$ .

$\frac{- 208 x}{- 208} = \frac{- \frac{3128}{3}}{- 208}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 208$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 208 x}{- 208} = \frac{- \frac{3128}{3}}{- 208}$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{3128}{3}}{- 208}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{3128}{3} \cdot \frac{1}{- 208}$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 10.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3128}{3}$ in den Zähler.

$x = \frac{- 3128}{3} \cdot \frac{1}{- 208}$

Schritt 10.3.2.2

Faktorisiere $8$ aus $- 3128$ heraus.

$x = \frac{8 (- 391)}{3} \cdot \frac{1}{- 208}$

Schritt 10.3.2.3

Faktorisiere $8$ aus $- 208$ heraus.

$x = \frac{8 \cdot - 391}{3} \cdot \frac{1}{8 \cdot - 26}$

Schritt 10.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{8 \cdot - 391}{3} \cdot \frac{1}{8 \cdot - 26}$

Schritt 10.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 391}{3} \cdot \frac{1}{- 26}$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 391}{3}$ mit $\frac{1}{- 26}$ .

$x = \frac{- 391}{3 \cdot - 26}$

Schritt 10.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 26$ .

$x = \frac{- 391}{- 78}$

Schritt 10.3.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{391}{78}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{391}{78}$

Dezimalform:

$x = 5.01282051 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 5 \frac{1}{78}$