Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (2 - x) = 1 + \log_{5} (- x)$

Schritt 1

Stelle $2$ und $- x$ um.

$\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1 + \log_{5} (- x)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (- x + 2) - \log_{5} (- x) = 1$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{- 45 x}{- x}) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{5} (\frac{- 45 x}{- x}) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{5} (\frac{- 45}{- 1}) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Schritt 4.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 45}{- 1}$ .

$\log_{5} (- 1 \cdot - 45) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 \cdot - 45$ als $- - 45$ um.

$\log_{5} (45) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 45$ .

$\log_{5} (45) - 2 \log_{5} (- x + 2) = 1$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\log_{5} (45) - 2 \log_{5} (- x + 2)$ .

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Schritt 5.1.1

Vereinfache $- 2 \log_{5} (- x + 2)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{5} (45) - \log_{5} ({(- x + 2)}^{2}) = 1$

Schritt 5.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}}) = 1$

Schritt 6

Schreibe $\log_{5} (\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}}) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{45}{{(- x + 2)}^{2}}$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5^{1}$ um.

$\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5$

Schritt 7.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

${(- x + 2)}^{2}, 1$

Schritt 7.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

${(- x + 2)}^{2}$

Schritt 7.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5$ mit ${(- x + 2)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} = 5$ mit ${(- x + 2)}^{2}$ .

$\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} {(- x + 2)}^{2} = 5 {(- x + 2)}^{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(- x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{45}{{(- x + 2)}^{2}} {(- x + 2)}^{2} = 5 {(- x + 2)}^{2}$

Schritt 7.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$45 = 5 {(- x + 2)}^{2}$

Schritt 7.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 7.4.1

Schreibe die Gleichung als $5 {(- x + 2)}^{2} = 45$ um.

$5 {(- x + 2)}^{2} = 45$

Schritt 7.4.2

Teile jeden Ausdruck in $5 {(- x + 2)}^{2} = 45$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 {(- x + 2)}^{2} = 45$ durch $5$ .

$\frac{5 {(- x + 2)}^{2}}{5} = \frac{45}{5}$

Schritt 7.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 7.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 {(- x + 2)}^{2}}{5} = \frac{45}{5}$

Schritt 7.4.2.2.1.2

Dividiere ${(- x + 2)}^{2}$ durch $1$ .

${(- x + 2)}^{2} = \frac{45}{5}$

Schritt 7.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.2.3.1

Dividiere $45$ durch $5$ .

${(- x + 2)}^{2} = 9$

Schritt 7.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$- x + 2 = \pm \sqrt{9}$

Schritt 7.4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 7.4.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- x + 2 = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 7.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- x + 2 = \pm 3$

Schritt 7.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$- x + 2 = 3$

Schritt 7.4.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.4.5.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 3 - 2$

Schritt 7.4.5.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$- x = 1$

Schritt 7.4.5.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 7.4.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 7.4.5.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{- 1}$

Schritt 7.4.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.5.3.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x = - 1$

Schritt 7.4.5.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$- x + 2 = - 3$

Schritt 7.4.5.5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.4.5.5.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3 - 2$

Schritt 7.4.5.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$- x = - 5$

Schritt 7.4.5.6

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 7.4.5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.5.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 7.4.5.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 7.4.5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.5.6.3.1

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$x = 5$

Schritt 7.4.5.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = - 1, 5$

Schritt 8

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{5} (- 45 x) - 2 \log_{5} (2 - x) = 1 + \log_{5} (- x)$ nicht erfüllen.

$x = - 1$