Elementarmathematik Beispiele

$\log_{5} (3 x) + \log_{5} (2 x - 1) = \log_{5} (16 x - 10)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (3 x (2 x - 1)) = \log_{5} (16 x - 10)$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1) = \log_{5} (16 x - 10)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log_{5} (3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 x \cdot - 1) = \log_{5} (16 x - 10)$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\log_{5} (3 \cdot (2 x \cdot x) - 3 x) = \log_{5} (16 x - 10)$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1

Bewege $x$ .

$\log_{5} (3 \cdot (2 (x \cdot x)) - 3 x) = \log_{5} (16 x - 10)$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{5} (3 \cdot (2 x^{2}) - 3 x) = \log_{5} (16 x - 10)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\log_{5} (6 x^{2} - 3 x) = \log_{5} (16 x - 10)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$6 x^{2} - 3 x = 16 x - 10$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $16 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} - 3 x - 16 x = - 10$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $16 x$ von $- 3 x$ .

$6 x^{2} - 19 x = - 10$

Schritt 3.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} - 19 x + 10 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 10 = 60$ und deren Summe gleich $b = - 19$ ist.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $- 19$ aus $- 19 x$ heraus.

$6 x^{2} - 19 x + 10 = 0$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $- 19$ um als $- 4$ plus $- 15$

$6 x^{2} + (- 4 - 15) x + 10 = 0$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$6 x^{2} - 4 x - 15 x + 10 = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(6 x^{2} - 4 x) - 15 x + 10 = 0$

Schritt 3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 x (3 x - 2) - 5 (3 x - 2) = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (2 x - 5) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Schritt 3.5

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 3.6

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 2) (2 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{3}, \frac{5}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{2}{3}, \frac{5}{2}$

Dezimalform:

$x = 0.\overline{6}, 2.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = \frac{2}{3}, 2 \frac{1}{2}$