Elementarmathematik Beispiele

$\log_{4} (x^{2} - 2 x - 15) - \log_{4} (x + 3) = 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x + 3}) = 2$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 5, 3$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\log_{4} (\frac{(x - 5) (x + 3)}{x + 3}) = 2$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{4} (\frac{(x - 5) (x + 3)}{x + 3}) = 2$

Schritt 1.3.2

Dividiere $x - 5$ durch $1$ .

$\log_{4} (x - 5) = 2$

Schritt 2

Schreibe $\log_{4} (x - 5) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$4^{2} = x - 5$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x - 5 = 4^{2}$ um.

$x - 5 = 4^{2}$

Schritt 3.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x - 5 = 16$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 16 + 5$

Schritt 3.3.2

Addiere $16$ und $5$ .

$x = 21$