Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $- 2 \log_{3} (x - 1)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{3} (x + 1) - \log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 1$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$

Schritt 3

Schreibe $\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 1 = 3 ({(x - 1)}^{2})$

Schritt 5

Vereinfache $3 ({(x - 1)}^{2})$ .

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Schritt 5.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$x + 1 = 3 ((x - 1) (x - 1))$

Schritt 5.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 5.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 5.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 5.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Schritt 5.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x + 1)$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 1 = 3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 1$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3 \cdot 1$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 - 3 x^{2} = - 6 x + 3$

Schritt 6.2

Addiere $6 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + 1 - 3 x^{2} + 6 x = 3$

Schritt 6.3

Addiere $x$ und $6 x$ .

$7 x + 1 - 3 x^{2} = 3$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x - 3 x^{2} = 3 - 1$

Schritt 7.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$7 x - 3 x^{2} = 2$

Schritt 8

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 x - 3 x^{2} - 2 = 0$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $7 x - 3 x^{2} - 2$ heraus.

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Schritt 9.1.1

Stelle $7 x$ und $- 3 x^{2}$ um.

$- 3 x^{2} + 7 x - 2 = 0$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- (3 x^{2}) + 7 x - 2 = 0$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $7 x$ heraus.

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 2 = 0$

Schritt 9.1.4

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Schritt 9.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (- 7 x)$ heraus.

$- (3 x^{2} - 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Schritt 9.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - 7 x) - 1 (2)$ heraus.

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Schritt 9.2

Faktorisiere.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 9.2.1.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Schritt 9.2.1.1.2

Schreibe $- 7$ um als $- 1$ plus $- 6$

$- (3 x^{2} + (- 1 - 6) x + 2) = 0$

Schritt 9.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (3 x^{2} - 1 x - 6 x + 2) = 0$

Schritt 9.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((3 x^{2} - 1 x) - 6 x + 2) = 0$

Schritt 9.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (x (3 x - 1) - 2 (3 x - 1)) = 0$

Schritt 9.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x - 2)) = 0$

Schritt 9.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (3 x - 1) (x - 2) = 0$

Schritt 10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 11

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 11.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 11.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 12

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (3 x - 1) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, 2$

Schritt 14

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$ nicht erfüllen.

$x = 2$