Elementarmathematik Beispiele

$\log (5) (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x^{3} - x}})$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x \cdot x^{2} - x}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ heraus.

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x (x^{2} - 1)}}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x (x^{2} - 1^{2})}}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}$ mit $\frac{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}$ .

$\log (5) (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}})$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}$ mit $\frac{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}$ .

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}$ mit $1$ .

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}$

Schritt 3.3

Potenziere $\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}$ mit $1$ .

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}^{1}}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Schritt 3.6

Schreibe ${\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}^{2}$ als $x (x + 1) (x - 1)$ um.

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Schritt 3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}$ als ${(x (x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{({(x (x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{1}}$

Schritt 3.6.5

Vereinfache.

$\log (5) \frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}$ heraus.

$\log (5) \frac{x (x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)})}{x (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x$ aus $x (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$\log (5) \frac{x (x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)})}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (5) \frac{x (x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)})}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (5) \frac{x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Kombiniere $\log (5)$ und $\frac{x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{\log (5) (x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)})}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 7

Stelle die Faktoren in $\frac{\log (5) x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$ um.

$\frac{x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \log (5) \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$