Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\sqrt{\frac{x^{3} y^{4}}{3 z}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{x^{3} y^{4}}{3 z}}$ als ${(\frac{x^{3} y^{4}}{3 z})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln ({(\frac{x^{3} y^{4}}{3 z})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({(\frac{x^{3} y^{4}}{3 z})}^{\frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{x^{3} y^{4}}{3 z})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{x^{3} y^{4}}{3 z})$ als $\ln (x^{3} y^{4}) - \ln (3 z)$ um.

$\frac{1}{2} (\ln (x^{3} y^{4}) - \ln (3 z))$

Schritt 4

Schreibe $\ln (x^{3} y^{4})$ als $\ln (x^{3}) + \ln (y^{4})$ um.

$\frac{1}{2} (\ln (x^{3}) + \ln (y^{4}) - \ln (3 z))$

Schritt 5

Zerlege $\ln (x^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{2} (3 \ln (x) + \ln (y^{4}) - \ln (3 z))$

Schritt 6

Zerlege $\ln (y^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{2} (3 \ln (x) + 4 \ln (y) - \ln (3 z))$

Schritt 7

Schreibe $\ln (3 z)$ als $\ln (3) + \ln (z)$ um.

$\frac{1}{2} (3 \ln (x) + 4 \ln (y) - (\ln (3) + \ln (z)))$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (3 \ln (x) + 4 \ln (y) - \ln (3) - \ln (z))$

Schritt 9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (3 \ln (x)) + \frac{1}{2} (4 \ln (y)) + \frac{1}{2} (- \ln (3)) + \frac{1}{2} (- \ln (z))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (3 \ln (x))$ .

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \ln (x) + \frac{1}{2} (4 \ln (y)) + \frac{1}{2} (- \ln (3)) + \frac{1}{2} (- \ln (z))$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{3 \ln (x)}{2} + \frac{1}{2} (4 \ln (y)) + \frac{1}{2} (- \ln (3)) + \frac{1}{2} (- \ln (z))$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \ln (y)$ heraus.

$\frac{3 \ln (x)}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 \ln (y))) + \frac{1}{2} (- \ln (3)) + \frac{1}{2} (- \ln (z))$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \ln (x)}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 \ln (y))) + \frac{1}{2} (- \ln (3)) + \frac{1}{2} (- \ln (z))$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \ln (x)}{2} + 2 \ln (y) + \frac{1}{2} (- \ln (3)) + \frac{1}{2} (- \ln (z))$

Schritt 10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (3)$ .

$\frac{3 \ln (x)}{2} + 2 \ln (y) - \frac{\ln (3)}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (z))$

Schritt 10.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (z)$ .

$\frac{3 \ln (x)}{2} + 2 \ln (y) - \frac{\ln (3)}{2} - \frac{\ln (z)}{2}$