Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\sqrt[4]{\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))}}$ als ${(\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))})}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\ln ({(\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))})}^{\frac{1}{4}})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({(\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))})}^{\frac{1}{4}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{4}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{4} \ln (\frac{3 (2 x + 1)}{(2 (x - 5)) (8 (x^{2} + 1))})$

Schritt 3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{3 (2 x + 1)}{16 (x - 5) (x^{2} + 1)})$

Schritt 4

Schreibe $\ln (\frac{3 (2 x + 1)}{16 (x - 5) (x^{2} + 1)})$ als $\ln (3 (2 x + 1)) - \ln (16 (x - 5) (x^{2} + 1))$ um.

$\frac{1}{4} (\ln (3 (2 x + 1)) - \ln (16 (x - 5) (x^{2} + 1)))$

Schritt 5

Schreibe $\ln (3 (2 x + 1))$ als $\ln (3) + \ln (2 x + 1)$ um.

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - \ln (16 (x - 5) (x^{2} + 1)))$

Schritt 6

Schreibe $\ln (16 (x - 5) (x^{2} + 1))$ als $\ln (16 (x - 5)) + \ln (x^{2} + 1)$ um.

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (\ln (16 (x - 5)) + \ln (x^{2} + 1)))$

Schritt 7

Schreibe $\ln (16 (x - 5))$ als $\ln (16) + \ln (x - 5)$ um.

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (\ln (16) + \ln (x - 5) + \ln (x^{2} + 1)))$

Schritt 8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Schreibe $\ln (16)$ als $\ln (2^{4})$ um.

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (\ln (2^{4}) + \ln (x - 5) + \ln (x^{2} + 1)))$

Schritt 8.1.2

Zerlege $\ln (2^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (4 \ln (2) + \ln (x - 5) + \ln (x^{2} + 1)))$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - (4 \ln (2)) - \ln (x - 5) - \ln (x^{2} + 1))$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (3) + \ln (2 x + 1) - 4 \ln (2) - \ln (x - 5) - \ln (x^{2} + 1))$

Schritt 9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \ln (3) + \frac{1}{4} \ln (2 x + 1) + \frac{1}{4} (- 4 \ln (2)) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (3)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{1}{4} \ln (2 x + 1) + \frac{1}{4} (- 4 \ln (2)) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (2 x + 1)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} + \frac{1}{4} (- 4 \ln (2)) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \ln (2)$ heraus.

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} + \frac{1}{4} (4 (- \ln (2))) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} + \frac{1}{4} (4 (- \ln (2))) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Schritt 10.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} - \ln (2) + \frac{1}{4} (- \ln (x - 5)) + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Schritt 10.4

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (x - 5)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} - \ln (2) - \frac{\ln (x - 5)}{4} + \frac{1}{4} (- \ln (x^{2} + 1))$

Schritt 10.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{\ln (3)}{4} + \frac{\ln (2 x + 1)}{4} - \ln (2) - \frac{\ln (x - 5)}{4} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{4}$

Schritt 11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (3) + \ln (2 x + 1)}{4} - \ln (2) - \frac{\ln (x - 5)}{4} - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{4}$

Schritt 12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (3) + \ln (2 x + 1) - \ln (x - 5)}{4} - \ln (2) - \frac{\ln (x^{2} + 1)}{4}$

Schritt 13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\ln (3) + \ln (2 x + 1) - \ln (x - 5) - \ln (x^{2} + 1)}{4} - \ln (2)$