Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 7 x = 15 - 2 y$

Schritt 1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - 7 x + 2 y = 15$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - 7 x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 7$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 7}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{7}{2}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{49}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{49}{4}$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{49}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{49}{4}$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ ein.

${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$

Schritt 3

Setze ${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4}$ für $x^{2} - 7 x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 7 x + 2 y = 15$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} - \frac{49}{4} + y^{2} + 2 y = 15$

Schritt 4

Bringe $- \frac{49}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{49}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + y^{2} + 2 y = 15 + \frac{49}{4}$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + 2 y$ an.

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Schritt 5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.4.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Schritt 5.4.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Schritt 5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 0 - 1$

Schritt 5.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$e = - 1$

Schritt 5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + 1)}^{2} - 1$ ein.

${(y + 1)}^{2} - 1$

Schritt 6

Setze ${(y + 1)}^{2} - 1$ für $y^{2} + 2 y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - 7 x + 2 y = 15$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 15 + \frac{49}{4}$

Schritt 7

Bringe $- 1$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $1$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 15 + \frac{49}{4} + 1$

Schritt 8

Vereinfache $15 + \frac{49}{4} + 1$ .

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Schritt 8.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 8.1.1

Schreibe $15$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{15}{1} + \frac{49}{4} + 1$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $\frac{15}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{15}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{49}{4} + 1$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $\frac{15}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{15 \cdot 4}{4} + \frac{49}{4} + 1$

Schritt 8.1.4

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{15 \cdot 4}{4} + \frac{49}{4} + \frac{1}{1}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{15 \cdot 4}{4} + \frac{49}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{15 \cdot 4}{4} + \frac{49}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{15 \cdot 4 + 49 + 4}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $15$ mit $4$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{60 + 49 + 4}{4}$

Schritt 8.3.2

Addiere $60$ und $49$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{109 + 4}{4}$

Schritt 8.3.3

Addiere $109$ und $4$ .

${(x - \frac{7}{2})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{113}{4}$

Schritt 9

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 10

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{\sqrt{113}}{2}$

$h = \frac{7}{2}$

$k = - 1$

Schritt 11

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(\frac{7}{2}, - 1)$

Schritt 12

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(\frac{7}{2}, - 1)$

Radius: $\frac{\sqrt{113}}{2}$

Schritt 13