Elementarmathematik Beispiele

$\log_{3} (\sqrt[3]{\frac{1}{9}})$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{1}{9}}$ als $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{9}}$ um.

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{9}})$

Schritt 2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{9}})$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Schritt 4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Schritt 4.2

Potenziere $\sqrt[3]{9}$ mit $1$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}})$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}})$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}})$

Schritt 4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ als $9$ um.

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Schritt 4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9}$ als $9^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Schritt 4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}})$

Schritt 4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}})$

Schritt 4.5.5

Berechne den Exponenten.

$\log_{3} (\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9})$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ als $\sqrt[3]{9^{2}}$ um.

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{9^{2}}}{9})$

Schritt 5.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{81}}{9})$

Schritt 5.3

Schreibe $81$ als $3^{3} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $27$ aus $81$ heraus.

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{27 (3)}}{9})$

Schritt 5.3.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9})$

Schritt 5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{9})$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 \sqrt[3]{3}}{9}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt[3]{3}$ heraus.

$\log_{3} (\frac{3 (\sqrt[3]{3})}{9})$

Schritt 6.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3})$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{3} (\frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3})$

Schritt 6.4

Forme den Ausdruck um.

$\log_{3} (\frac{\sqrt[3]{3}}{3})$

Schritt 7

Schreibe $\frac{\sqrt[3]{3}}{3}$ als $\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1}$ um.

$\log_{3} (\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1})$

Schritt 8

Schreibe $\log_{3} (\sqrt[3]{3} \cdot 3^{- 1})$ als $\log_{3} (\sqrt[3]{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$ um.

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) + \log_{3} (3^{- 1})$

Schritt 9

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - \log_{3} (3)$

Schritt 10

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - 1 \cdot 1$

Schritt 11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\log_{3} (\sqrt[3]{3}) - 1$

Schritt 12

Schreibe $\log_{3} (\sqrt[3]{3})$ um unter Verwendung der Formel zur Basisumrechnung.

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Schritt 12.1

Die Regel zur Basisumrechung kann genutzt werden, wenn $a$ und $b$ größer als $0$ und nicht gleich $1$ sind und $x$ größer als $0$ ist.

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Schritt 12.2

Setze Werte für die Variablen in die Formel zur Basisumrechnung ein, unter Verwendung von $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt[3]{3})}{\log (3)} - 1$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\log (\sqrt[3]{3})}{\log (3)} - 1$

Dezimalform:

$- 0.\overline{6}$