Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{5} \cdot (5 \ln (x + 9) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 9))$

Schritt 1

Vereinfache $5 \ln (x + 9)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1}{5} \cdot (\ln ({(x + 9)}^{5}) - \ln (x) - \ln (x^{2} - 9))$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{5} \cdot (\ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x}) - \ln (x^{2} - 9))$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{\frac{{(x + 9)}^{5}}{x}}{x^{2} - 9})$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 9})$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2} - 3^{2}})$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x} \cdot \frac{1}{(x + 3) (x - 3)})$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5} \cdot 1}{x ((x + 3) (x - 3))})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere ${(x + 9)}^{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x ((x + 3) (x - 3))})$

Schritt 7

Vereinfache $\frac{1}{5} \ln (\frac{{(x + 9)}^{5}}{x (x + 3) (x - 3)})$ , indem du $\frac{1}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{{(x + 9)}^{5}}{x (x + 3) (x - 3)})}^{\frac{1}{5}})$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.1

Wende die Produktregel auf $\frac{{(x + 9)}^{5}}{x (x + 3) (x - 3)}$ an.

$\ln (\frac{{({(x + 9)}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{(x (x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 8.2

Wende die Produktregel auf $x (x + 3) (x - 3)$ an.

$\ln (\frac{{({(x + 9)}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{(x (x + 3))}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 8.3

Wende die Produktregel auf $x (x + 3)$ an.

$\ln (\frac{{({(x + 9)}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 9)}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 9.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(x + 9)}^{5 (\frac{1}{5})}}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 9.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{{(x + 9)}^{5 (\frac{1}{5})}}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{{(x + 9)}^{1}}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$\ln (\frac{x + 9}{x^{\frac{1}{5}} {(x + 3)}^{\frac{1}{5}} {(x - 3)}^{\frac{1}{5}}})$