Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\frac{x}{x - 7}) + \ln (\frac{x + 7}{x}) - \ln (x^{2} - 49)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x}{x - 7} \cdot \frac{x + 7}{x}) - \ln (x^{2} - 49)$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x}{x - 7} \cdot \frac{x + 7}{x}}{x^{2} - 49})$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{x}{x - 7}$ mit $\frac{x + 7}{x}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 7)}{(x - 7) x}}{x^{2} - 49})$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\ln (\frac{\frac{x (x + 7)}{(x - 7) x}}{x^{2} - 7^{2}})$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 7$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 7)}{(x - 7) x}}{(x + 7) (x - 7)})$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck $\frac{x (x + 7)}{(x - 7) x}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{\frac{x (x + 7)}{(x - 7) x}}{(x + 7) (x - 7)})$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{\frac{x + 7}{x - 7}}{(x + 7) (x - 7)})$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{x + 7}{x - 7} \cdot \frac{1}{(x + 7) (x - 7)})$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x + 7}{x - 7} \cdot \frac{1}{(x + 7) (x - 7)})$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{1}{x - 7} \cdot \frac{1}{x - 7})$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 7}$ mit $\frac{1}{x - 7}$ .

$\ln (\frac{1}{(x - 7) (x - 7)})$

Schritt 9

Potenziere $x - 7$ mit $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 7)}^{1} (x - 7)})$

Schritt 10

Potenziere $x - 7$ mit $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 7)}^{1} {(x - 7)}^{1}})$

Schritt 11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{1}{{(x - 7)}^{1 + 1}})$

Schritt 12

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 7)}^{2}})$