Elementarmathematik Beispiele

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + 5 \log (y) - 6 \log (\sqrt{x y})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $5 \log (y)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - 6 \log (\sqrt{x y})$

Schritt 1.2

Vereinfache $- 6 \log (\sqrt{x y})$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({\sqrt{x y}}^{6})$

Schritt 1.3

Schreibe ${\sqrt{x y}}^{6}$ als ${(x y)}^{3}$ um.

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Schritt 1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x y}$ als ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{6})$

Schritt 1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 6})$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{6}{2}})$

Schritt 1.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{2 \cdot 3}{2}})$

Schritt 1.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})$

Schritt 1.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})$

Schritt 1.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{\frac{3}{1}})$

Schritt 1.3.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log ({(x y)}^{3})$

Schritt 1.4

Wende die Produktregel auf $x y$ an.

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}}) + \log (y^{5}) - \log (x^{3} y^{3})$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{5}) - \log (x^{3} y^{3})$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{5}}{x^{3} y^{3}})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{5}$ und $y^{3}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{5}$ heraus.

$\log (\frac{y^{3} (\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{2})}{x^{3} y^{3}})$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $x^{3} y^{3}$ heraus.

$\log (\frac{y^{3} (\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{2})}{y^{3} x^{3}})$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{y^{3} (\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{2})}{y^{3} x^{3}})$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{y^{3}} y^{2}}{x^{3}})$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{x^{2}}{y^{3}}$ und $y^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} y^{2}}{y^{3}}}{x^{3}})$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{x^{2} y^{2}}{y^{3}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\log (\frac{\frac{y^{2} x^{2}}{y^{3}}}{x^{3}})$

Schritt 6.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{3}$ heraus.

$\log (\frac{\frac{y^{2} x^{2}}{y^{2} y}}{x^{3}})$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{\frac{y^{2} x^{2}}{y^{2} y}}{x^{3}})$

Schritt 6.4

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{\frac{x^{2}}{y}}{x^{3}})$

Schritt 7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log (\frac{x^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

Schritt 8

Kombinieren.

$\log (\frac{x^{2} \cdot 1}{y x^{3}})$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot 1$ heraus.

$\log (\frac{x^{2} (1)}{y x^{3}})$

Schritt 9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $y x^{3}$ heraus.

$\log (\frac{x^{2} (1)}{x^{2} (y x)})$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} (y x)})$

Schritt 9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (\frac{1}{y x})$