Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{x = 5}^{10} 2^{x}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{x + 1}}{a_{x}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{x}$ und $a_{x + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{2^{x + 1}}{2^{x}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{x + 1}$ und $2^{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $2^{x}$ aus $2^{x + 1}$ heraus.

$r = \frac{2^{x} \cdot 2}{2^{x}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{2^{x} \cdot 2}{2^{x} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2^{x} \cdot 2}{2^{x} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$r = 2$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $5$ für $x$ in $2^{x}$ ein.

$a = 2^{5}$

Schritt 3.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$a = 32$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$32 \frac{1 - 2^{6}}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $2$ mit $6$ .

$32 \frac{1 - 1 \cdot 64}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$32 \frac{1 - 64}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $64$ von $1$ .

$32 \frac{- 63}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$32 \frac{- 63}{1 - 2}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$32 (\frac{- 63}{- 1})$

Schritt 5.3

Dividiere $- 63$ durch $- 1$ .

$32 \cdot 63$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $32$ mit $63$ .

$2016$