Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{n = 1}^{15} {(\frac{6}{13})}^{n}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n + 1}}{{(\frac{6}{13})}^{n}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{6}{13})}^{n + 1}$ und ${(\frac{6}{13})}^{n}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere ${(\frac{6}{13})}^{n}$ aus ${(\frac{6}{13})}^{n + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{6}{13})}^{n} \frac{6}{13}}{{(\frac{6}{13})}^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{\frac{6}{13}}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $\frac{6}{13}$ durch $1$ .

$r = \frac{6}{13}$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $n$ in ${(\frac{6}{13})}^{n}$ ein.

$a = {(\frac{6}{13})}^{1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

$a = \frac{6}{13}$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $13$ .

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}}$ mit $\frac{13}{13}$ .

$\frac{6}{13} (\frac{13}{13} \cdot \frac{1 - {(\frac{6}{13})}^{15}}{1 - \frac{6}{13}})$

Schritt 5.1.2

Kombinieren.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 (1 - {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 (1 - \frac{6}{13})}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (- \frac{6}{13})}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{13}$ in den Zähler.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (\frac{- 6}{13})}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 + 13 (\frac{- 6}{13})}$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot 1 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $13$ mit $1$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 (- {(\frac{6}{13})}^{15})}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{6}{13}$ an.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 (- \frac{6^{15}}{13^{15}})}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 5.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6^{15}}{13^{15}}$ in den Zähler.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13^{15}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $13$ aus $13^{15}$ heraus.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13 \cdot 13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + 13 \frac{- 6^{15}}{13 \cdot 13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 6^{15}}{13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.4

Potenziere $6$ mit $15$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 1 \cdot 470184984576}{13^{14}}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.5

Potenziere $13$ mit $14$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 1 \cdot 470184984576}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $470184984576$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 470184984576}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 470184984576$ und $3937376385699290$ .

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Schritt 5.4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 470184984576$ heraus.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 (- 235092492288)}{3937376385699290}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $3937376385699290$ heraus.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 \cdot - 235092492288}{2 \cdot 1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{2 \cdot - 235092492288}{2 \cdot 1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 + \frac{- 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.9

Um $13$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1968688192849645}{1968688192849645}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{13 \cdot \frac{1968688192849645}{1968688192849645} - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.10

Kombiniere $13$ und $\frac{1968688192849645}{1968688192849645}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{13 \cdot 1968688192849645}{1968688192849645} - \frac{235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{13 \cdot 1968688192849645 - 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.12.1

Mutltipliziere $13$ mit $1968688192849645$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592946507045385 - 235092492288}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.4.12.2

Subtrahiere $235092492288$ von $25592946507045385$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{13 \cdot 1 - 6}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $13$ mit $1$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{13 - 6}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $6$ von $13$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{\frac{25592711414553097}{1968688192849645}}{7}$

Schritt 5.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{6}{13} (\frac{25592711414553097}{1968688192849645} \cdot \frac{1}{7})$

Schritt 5.7

Multipliziere $\frac{25592711414553097}{1968688192849645} \cdot \frac{1}{7}$ .

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Schritt 5.7.1

Mutltipliziere $\frac{25592711414553097}{1968688192849645}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{1968688192849645 \cdot 7}$

Schritt 5.7.2

Mutltipliziere $1968688192849645$ mit $7$ .

$\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{13780817349947515}$

Schritt 5.8

Multipliziere $\frac{6}{13} \cdot \frac{25592711414553097}{13780817349947515}$ .

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Schritt 5.8.1

Mutltipliziere $\frac{6}{13}$ mit $\frac{25592711414553097}{13780817349947515}$ .

$\frac{6 \cdot 25592711414553097}{13 \cdot 13780817349947515}$

Schritt 5.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $25592711414553097$ .

$\frac{153556268487318582}{13 \cdot 13780817349947515}$

Schritt 5.8.3

Mutltipliziere $13$ mit $13780817349947515$ .

$\frac{153556268487318582}{179150625549317695}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{153556268487318582}{179150625549317695}$

Dezimalform:

$0.85713498 \dots$