Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{1}{3} n$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Kombiniere $n$ und $\frac{1}{3}$ .

$4 - \frac{n}{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3}$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3} = \sum_{n = 1}^{120} 4 + \sum_{n = 1}^{120} - \frac{n}{3}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{n = 1}^{120} 4$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(4) (120)$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $120$ .

$480$

Schritt 4

Berechne $\sum_{n = 1}^{120} - \frac{n}{3}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- \frac{1}{3}$ aus der Summe raus.

$(- \frac{1}{3}) \sum_{n = 1}^{120} n$

Schritt 4.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{120 (120 + 1)}{2})$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1.1

Addiere $120$ und $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{120 \cdot 121}{2}$

Schritt 4.4.1.2

Mutltipliziere $120$ mit $121$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

Schritt 4.4.2.2

Faktorisiere $3$ aus $14520$ heraus.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (4840)}{2}$

Schritt 4.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 4840}{2}$

Schritt 4.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (\frac{4840}{2})$

Schritt 4.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.3.1

Dividiere $4840$ durch $2$ .

$- 1 \cdot 2420$

Schritt 4.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2420$ .

$- 2420$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$480 - 2420$

Schritt 6

Subtrahiere $2420$ von $480$ .

$- 1940$