Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{n = 1}^{108} {(- 1)}^{n}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{{(- 1)}^{n}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 1)}^{n + 1}$ und ${(- 1)}^{n}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere ${(- 1)}^{n}$ aus ${(- 1)}^{n + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot - 1}{{(- 1)}^{n}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot - 1}{{(- 1)}^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot - 1}{{(- 1)}^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{- 1}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$r = - 1$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $n$ in ${(- 1)}^{n}$ ein.

$a = {(- 1)}^{1}$

Schritt 3.2

Berechne den Exponenten.

$a = - 1$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$- \frac{1 - {(- 1)}^{108}}{1 - - 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{108}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{108}$ .

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Schritt 5.1.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{108}}{1 - - 1}$

Schritt 5.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 108}}{1 - - 1}$

Schritt 5.1.1.2

Addiere $1$ und $108$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{109}}{1 - - 1}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $109$ .

$- \frac{1 - 1}{1 - - 1}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- \frac{0}{1 - - 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{0}{1 + 1}$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{0}{2}$

Schritt 5.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$- 0$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$