Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 0}^{12} 4 (2^{k - 1})$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{4 \cdot 2^{k + 1 - 1}}{4 \cdot 2^{k - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{4 \cdot 2^{k + 1 - 1}}{4 \cdot 2^{k - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2^{k + 1 - 1}}{2^{k - 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{k + 1 - 1}$ und $2^{k - 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2^{k - 1}$ aus $2^{k + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{2^{k - 1} \cdot 2^{k + 0 - (k - 1)}}{2^{k - 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{2^{k - 1} \cdot 2^{k + 0 - (k - 1)}}{2^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2^{k - 1} \cdot 2^{k + 0 - (k - 1)}}{2^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere $2^{k + 0 - (k - 1)}$ durch $1$ .

$r = 2^{k + 0 - (k - 1)}$

Schritt 2.2.3

Addiere $k$ und $0$ .

$r = 2^{k - (k - 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = 2^{k - k - - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = 2^{k - k + 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $k$ von $k$ .

$r = 2^{0 + 1}$

Schritt 2.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$r = 2^{1}$

Schritt 2.2.7

Berechne den Exponenten.

$r = 2$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $0$ für $k$ in $4 (2^{k - 1})$ ein.

$a = 4 \cdot 2^{0 - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$a = 4 \cdot 2^{- 1}$

Schritt 3.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a = 4 \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$a = 2 (2) \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$a = 2$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$2 \frac{1 - 2^{13}}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $2$ mit $13$ .

$2 \frac{1 - 1 \cdot 8192}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8192$ .

$2 \frac{1 - 8192}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $8192$ von $1$ .

$2 \frac{- 8191}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \frac{- 8191}{1 - 2}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 (\frac{- 8191}{- 1})$

Schritt 5.3

Dividiere $- 8191$ durch $- 1$ .

$2 \cdot 8191$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $8191$ .

$16382$