Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 1}^{8} 1 + {(- 1)}^{k}$

Schritt 1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{8} 1 + {(- 1)}^{k} = \sum_{k = 1}^{8} 1 + \sum_{k = 1}^{8} {(- 1)}^{k}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{8} 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(1) (8)$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{8} {(- 1)}^{k}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 3.2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{{(- 1)}^{k}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 1)}^{k + 1}$ und ${(- 1)}^{k}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere ${(- 1)}^{k}$ aus ${(- 1)}^{k + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k}}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

Schritt 3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

Schritt 3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{- 1}{1}$

Schritt 3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$r = - 1$

Schritt 3.3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Setze $1$ für $k$ in ${(- 1)}^{k}$ ein.

$a = {(- 1)}^{1}$

Schritt 3.3.2

Berechne den Exponenten.

$a = - 1$

Schritt 3.4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$- \frac{1 - {(- 1)}^{8}}{1 - - 1}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{8}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{8}}{1 - - 1}$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 8}}{1 - - 1}$

Schritt 3.5.1.1.2

Addiere $1$ und $8$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{9}}{1 - - 1}$

Schritt 3.5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $9$ .

$- \frac{1 - 1}{1 - - 1}$

Schritt 3.5.1.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- \frac{0}{1 - - 1}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{0}{1 + 1}$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{0}{2}$

Schritt 3.5.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$- 0$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$8 + 0$

Schritt 5

Addiere $8$ und $0$ .

$8$