Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 1}^{24} k^{2} - 7 k + 2$

Schritt 1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{24} k^{2} - 7 k + 2 = \sum_{k = 1}^{24} k^{2} - 7 \sum_{k = 1}^{24} k + \sum_{k = 1}^{24} 2$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{24} k^{2}$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $6$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)$ heraus.

$\frac{6 (4 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1))}{6}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (4 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1))}{6 (1)}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (4 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1))}{6 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{1}$

Schritt 2.3.1.2.4

Dividiere $4 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)$ durch $1$ .

$4 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $24$ und $1$ .

$4 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$100 (2 \cdot 24 + 1)$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$100 (48 + 1)$

Schritt 2.3.2.4

Addiere $48$ und $1$ .

$100 \cdot 49$

Schritt 2.3.2.5

Mutltipliziere $100$ mit $49$ .

$4900$

Schritt 3

Berechne $7 \sum_{k = 1}^{24} k$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 7) (\frac{24 (24 + 1)}{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Addiere $24$ und $1$ .

$- 7 \frac{24 \cdot 25}{2}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $24$ mit $25$ .

$- 7 (\frac{600}{2})$

Schritt 3.3.3

Dividiere $600$ durch $2$ .

$- 7 \cdot 300$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $300$ .

$- 2100$

Schritt 4

Berechne $\sum_{k = 1}^{24} 2$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(2) (24)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$48$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$4900 - 2100 + 48$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $2100$ von $4900$ .

$2800 + 48$

Schritt 6.2

Addiere $2800$ und $48$ .

$2848$