Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 1}^{200} {(2 k - 3)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(2 k - 3)}^{2}$ als $(2 k - 3) (2 k - 3)$ um.

$(2 k - 3) (2 k - 3)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(2 k - 3) (2 k - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $k$ mit $k$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $k$ .

$2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $6 k$ von $- 6 k$ .

$4 k^{2} - 12 k + 9$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9 = 4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2} - 12 \sum_{k = 1}^{200} k + \sum_{k = 1}^{200} 9$

Schritt 3

Berechne $4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(4) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $200$ und $1$ .

$4 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $200$ mit $201$ .

$4 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $200$ .

$4 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $400$ und $1$ .

$4 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $40200$ mit $401$ .

$4 (\frac{16120200}{6})$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{16120200}{6}$

Schritt 3.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{16120200}{3})$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{16120200}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16120200}{3}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $16120200$ .

$\frac{32240400}{3}$

Schritt 3.3.2.4.2

Dividiere $32240400$ durch $3$ .

$10746800$

Schritt 4

Berechne $12 \sum_{k = 1}^{200} k$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 12) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $200$ und $1$ .

$- 12 \frac{200 \cdot 201}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $200$ mit $201$ .

$- 12 (\frac{40200}{2})$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$2 (- 6) \frac{40200}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 6 \frac{40200}{2}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 6 \cdot 40200$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $40200$ .

$- 241200$

Schritt 5

Berechne $\sum_{k = 1}^{200} 9$ .

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Schritt 5.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 5.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(9) (200)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $9$ mit $200$ .

$1800$

Schritt 6

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$10746800 - 241200 + 1800$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $241200$ von $10746800$ .

$10505600 + 1800$

Schritt 7.2

Addiere $10505600$ und $1800$ .

$10507400$