Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{k = 1}^{\infty} 3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ und ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ aus ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ durch $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Schritt 2.2.3

Addiere $k$ und $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $k$ von $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Schritt 2.2.6

Addiere $0$ und $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache.

$r = \frac{2}{3}$

Schritt 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $k$ in $3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ ein.

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$a = 3 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Schritt 4.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 3 \frac{1}{3^{0}}$

Schritt 4.2.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Schritt 4.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$a = 3 \cdot 1$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$a = 3$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{3}{1 - \frac{2}{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Schritt 6.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{\frac{3 - 2}{3}}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$3 \cdot 3$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9$