Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{1}^{6} {(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1} \cdot 4^{k + 1}}{{(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 1)}^{k + 1}$ und ${(- 1)}^{k}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere ${(- 1)}^{k}$ aus ${(- 1)}^{k + 1} \cdot 4^{k + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 4^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere ${(- 1)}^{k}$ aus ${(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}$ heraus.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 4^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} (4^{k})}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 4^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{- 4^{k + 1}}{4^{k}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{k + 1}$ und $4^{k}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $4^{k}$ aus $- 4^{k + 1}$ heraus.

$r = \frac{4^{k} (- 1 \cdot 4)}{4^{k}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{4^{k} (- 1 \cdot 4)}{4^{k} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{4^{k} (- 1 \cdot 4)}{4^{k} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{- 1 \cdot 4}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere $- 1 \cdot 4$ durch $1$ .

$r = - 1 \cdot 4$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$r = - 4$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $k$ in ${(- 1)}^{k} \cdot 4^{k}$ ein.

$a = {(- 1)}^{1} \cdot 4^{1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Berechne den Exponenten.

$a = - 1 \cdot 4^{1}$

Schritt 3.2.2

Berechne den Exponenten.

$a = - 1 \cdot 4$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$a = - 4$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$- 4 \frac{1 - {(- 4)}^{6}}{1 - - 4}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $6$ .

$- 4 \frac{1 - 1 \cdot 4096}{1 - - 4}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4096$ .

$- 4 \frac{1 - 4096}{1 - - 4}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $4096$ von $1$ .

$- 4 \frac{- 4095}{1 - - 4}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- 4 \frac{- 4095}{1 + 4}$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ und $4$ .

$- 4 (\frac{- 4095}{5})$

Schritt 5.3

Dividiere $- 4095$ durch $5$ .

$- 4 \cdot - 819$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 819$ .

$3276$