Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{x = 1}^{90} 8 - \frac{1}{3} x$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$8 - \frac{x}{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{x = 1}^{90} 8 - \frac{x}{3}$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{x = 1}^{90} 8 - \frac{x}{3} = \sum_{x = 1}^{90} 8 + \sum_{x = 1}^{90} - \frac{x}{3}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{x = 1}^{90} 8$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(8) (90)$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $8$ mit $90$ .

$720$

Schritt 4

Berechne $\sum_{x = 1}^{90} - \frac{x}{3}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $- \frac{1}{3}$ aus der Summe raus.

$(- \frac{1}{3}) \sum_{x = 1}^{90} x$

Schritt 4.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{90 (90 + 1)}{2})$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1.1

Addiere $90$ und $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{90 \cdot 91}{2}$

Schritt 4.4.1.2

Mutltipliziere $90$ mit $91$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{8190}{2}$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{8190}{2}$

Schritt 4.4.2.2

Faktorisiere $3$ aus $8190$ heraus.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (2730)}{2}$

Schritt 4.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 2730}{2}$

Schritt 4.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (\frac{2730}{2})$

Schritt 4.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.3.1

Dividiere $2730$ durch $2$ .

$- 1 \cdot 1365$

Schritt 4.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1365$ .

$- 1365$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$720 - 1365$

Schritt 6

Subtrahiere $1365$ von $720$ .

$- 645$