Elementarmathematik Beispiele

$\sum_{x = 0}^{15} 2 {(\frac{4}{3})}^{x}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{x + 1}}{a_{x}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{x}$ und $a_{x + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{2 {(\frac{4}{3})}^{x + 1}}{2 {(\frac{4}{3})}^{x}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2 {(\frac{4}{3})}^{x + 1}}{2 {(\frac{4}{3})}^{x}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(\frac{4}{3})}^{x + 1}}{{(\frac{4}{3})}^{x}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{4}{3})}^{x + 1}$ und ${(\frac{4}{3})}^{x}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(\frac{4}{3})}^{x}$ aus ${(\frac{4}{3})}^{x + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{4}{3})}^{x} \frac{4}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{x}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{4}{3})}^{x} \frac{4}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{x} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{4}{3})}^{x} \frac{4}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{x} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{\frac{4}{3}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere $\frac{4}{3}$ durch $1$ .

$r = \frac{4}{3}$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $0$ für $x$ in $2 {(\frac{4}{3})}^{x}$ ein.

$a = 2 {(\frac{4}{3})}^{0}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$a = 2 \frac{4^{0}}{3^{0}}$

Schritt 3.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 2 \frac{1}{3^{0}}$

Schritt 3.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$a = 2 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 2 (\frac{1}{1})$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$a = 2 \cdot 1$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$a = 2$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$2 \frac{1 - {(\frac{4}{3})}^{16}}{1 - \frac{4}{3}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - {(\frac{4}{3})}^{16}}{1 - \frac{4}{3}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{4}{3})}^{16}}{1 - \frac{4}{3}})$

Schritt 5.1.2

Kombinieren.

$2 \frac{3 (1 - {(\frac{4}{3})}^{16})}{3 (1 - \frac{4}{3})}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{4}{3})}^{16})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{4}{3})}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{3}$ in den Zähler.

$2 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{4}{3})}^{16})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 4}{3})}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{4}{3})}^{16})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 4}{3})}$

Schritt 5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{4}{3})}^{16})}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 \frac{3 + 3 (- {(\frac{4}{3})}^{16})}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$2 \frac{3 + 3 (- \frac{4^{16}}{3^{16}})}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4^{16}}{3^{16}}$ in den Zähler.

$2 \frac{3 + 3 \frac{- 4^{16}}{3^{16}}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3^{16}$ heraus.

$2 \frac{3 + 3 \frac{- 4^{16}}{3 \cdot 3^{15}}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{3 + 3 \frac{- 4^{16}}{3 \cdot 3^{15}}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \frac{3 + \frac{- 4^{16}}{3^{15}}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.4

Potenziere $4$ mit $16$ .

$2 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 4294967296}{3^{15}}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.5

Potenziere $3$ mit $15$ .

$2 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 4294967296}{14348907}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4294967296$ .

$2 \frac{3 + \frac{- 4294967296}{14348907}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \frac{3 - \frac{4294967296}{14348907}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.8

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{14348907}{14348907}$ .

$2 \frac{3 \cdot \frac{14348907}{14348907} - \frac{4294967296}{14348907}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.9

Kombiniere $3$ und $\frac{14348907}{14348907}$ .

$2 \frac{\frac{3 \cdot 14348907}{14348907} - \frac{4294967296}{14348907}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{\frac{3 \cdot 14348907 - 4294967296}{14348907}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.11.1

Mutltipliziere $3$ mit $14348907$ .

$2 \frac{\frac{43046721 - 4294967296}{14348907}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.11.2

Subtrahiere $4294967296$ von $43046721$ .

$2 \frac{\frac{- 4251920575}{14348907}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.4.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \frac{- \frac{4251920575}{14348907}}{3 \cdot 1 - 4}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 \frac{- \frac{4251920575}{14348907}}{3 - 4}$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$2 \frac{- \frac{4251920575}{14348907}}{- 1}$

Schritt 5.6

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$2 \frac{\frac{4251920575}{14348907}}{1}$

Schritt 5.7

Dividiere $\frac{4251920575}{14348907}$ durch $1$ .

$2 (\frac{4251920575}{14348907})$

Schritt 5.8

Multipliziere $2 (\frac{4251920575}{14348907})$ .

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Schritt 5.8.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4251920575}{14348907}$ .

$\frac{2 \cdot 4251920575}{14348907}$

Schritt 5.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $4251920575$ .

$\frac{8503841150}{14348907}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8503841150}{14348907}$

Dezimalform:

$592.64731104 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$592 \frac{9288206}{14348907}$