Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 8} \sqrt{x + \sqrt{x}} - \sqrt{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \sqrt{x + \sqrt{x}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x + \sqrt{x}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} \sqrt{x}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x + \sqrt{lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} x + \sqrt{lim_{x \to 8} x}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{8 + \sqrt{lim_{x \to 8} x}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{8 + \sqrt{8}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 6.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{8 + \sqrt{8}} - \sqrt{8}$

Schritt 7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{8 + \sqrt{4 (2)}} - \sqrt{8}$

Schritt 7.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{8 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}} - \sqrt{8}$

Schritt 7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{8}$

Schritt 7.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 7.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{4 (2)}$

Schritt 7.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 7.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}} - (2 \sqrt{2})$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{8 + 2 \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$0.46223042 \dots$