Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 + 2 x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 + 2 x} - 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 + 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 + 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 + lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to 8} 2 x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.2.1.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{9 + 2 lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{9 + 2 lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 2 \cdot 8} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Addiere $9$ und $16$ .

$\frac{\sqrt{25} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5^{2}} - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{8} - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{0}{\sqrt[3]{2^{3}} - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 + 2 x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x} - 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{9 + 2 x} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 2 x}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 + 2 x}$ als ${(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 + 2 x$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 + 2 x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 + 2 x$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.4

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2) + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.13

Addiere $0$ und $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.15

Kombiniere $\frac{{(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $2$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{{(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.16

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{2 \cdot {(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.17

Bringe ${(9 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{2}{2 {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.18

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{2}{2 {(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.3.19

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(9 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.5.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt[3]{x} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

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Schritt 1.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0}$

Schritt 1.3.9

Vereinfache.

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Schritt 1.3.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0}$

Schritt 1.3.9.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}$

Schritt 1.3.9.2.2

Addiere $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ und $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 8} \frac{1}{{(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.5

Schreibe ${(2 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{2 x + 9}$ um.

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\sqrt{2 x + 9}} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 1.6

Vereinige Faktoren.

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Schritt 1.6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{\sqrt{2 x + 9}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{3}{\sqrt{2 x + 9}} x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.6.2

Kombiniere $\frac{3}{\sqrt{2 x + 9}}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 x + 9}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 x + 9}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$3 \frac{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} \sqrt{2 x + 9}}$

Schritt 2.3

Ziehe den Exponenten $\frac{2}{3}$ von $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 8} \sqrt{2 x + 9}}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 2 x + 9}}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 9}}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 9}}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $9$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$3 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 lim_{x \to 8} x + 9}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$3 \frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 lim_{x \to 8} x + 9}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$3 \frac{8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$3 \frac{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Schritt 4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{2^{3 (\frac{2}{3})}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{2^{3 (\frac{2}{3})}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Schritt 4.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{2^{2}}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Schritt 4.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 \frac{4}{\sqrt{2 \cdot 8 + 9}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$3 \frac{4}{\sqrt{16 + 9}}$

Schritt 4.2.2

Addiere $16$ und $9$ .

$3 \frac{4}{\sqrt{25}}$

Schritt 4.2.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$3 \frac{4}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 4.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$3 (\frac{4}{5})$

Schritt 4.3

Multipliziere $3 (\frac{4}{5})$ .

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{4}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{5}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{12}{5}$

Dezimalform:

$2.4$