Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{3 x + 2}{6 x - 8}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{3 x + 2}{6 x - 8}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 3 x + 2}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 2}{lim_{x \to 8} 6 x - 8}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 2}{lim_{x \to 8} 6 x - lim_{x \to 8} 8}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 2}{6 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{\frac{3 lim_{x \to 8} x + 2}{6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 8 + 2}{6 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{3 \cdot 8 + 2}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\sqrt{\frac{24 + 2}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Schritt 10.2

Addiere $24$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{26}{6 \cdot 8 - 1 \cdot 8}}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$\sqrt{\frac{26}{48 - 1 \cdot 8}}$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\sqrt{\frac{26}{48 - 8}}$

Schritt 10.5

Subtrahiere $8$ von $48$ .

$\sqrt{\frac{26}{40}}$

Schritt 10.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $26$ und $40$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.1

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (13)}{40}}$

Schritt 10.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $40$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}}$

Schritt 10.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}}$

Schritt 10.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{13}{20}}$

Schritt 10.7

Schreibe $\sqrt{\frac{13}{20}}$ als $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{20}}$ um.

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{20}}$

Schritt 10.8

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.8.1

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.8.1.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4 (5)}}$

Schritt 10.8.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Schritt 10.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 10.9

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 10.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.10.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{13}}{2 \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 10.10.2

Bewege $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Schritt 10.10.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Schritt 10.10.4

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Schritt 10.10.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 10.10.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 10.10.7

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.10.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10.10.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 10.10.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.10.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.10.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 10.10.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{1}}$

Schritt 10.10.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{13} \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 10.11

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.11.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{13 \cdot 5}}{2 \cdot 5}$

Schritt 10.11.2

Mutltipliziere $13$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{65}}{2 \cdot 5}$

Schritt 10.12

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{\sqrt{65}}{10}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{65}}{10}$

Dezimalform:

$0.80622577 \dots$