Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\csc (6 x)}$

Schritt 1

Wende trigonometrische Formeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\csc (6 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (6 x)}}$

Schritt 1.2

Schreibe $\cot (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (6 x)}}$

Schritt 1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (6 x)}$ zu dividieren.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (6 x)$

Schritt 1.4

Schreibe $\sin (6 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (6 x)}{1}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Dividiere $\sin (6 x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (6 x)$

Schritt 1.5.2

Wandle von $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ nach $\cot (2 x)$ um.

$lim_{x \to 0} \cot (2 x) \sin (6 x)$

Schritt 2

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (2 x) \sin (6 x)$

Schritt 3

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\cot (2 x) \sin (6 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (6 x) \\ - 0.1 & 2.78546877 \\ - 0.01 & 2.99780055 \\ - 0.001 & 2.999978 \\ - 0.0001 & 2.99999978 \end{array}$

Schritt 4

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $3$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\cot (2 x) \sin (6 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $3$ .

$3$

Schritt 5

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (2 x) \sin (6 x)$

Schritt 6

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\cot (2 x) \sin (6 x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \cot (2 x) \sin (6 x) \\ 0.1 & 2.78546877 \\ 0.01 & 2.99780055 \\ 0.001 & 2.999978 \\ 0.0001 & 2.99999978 \end{array}$

Schritt 7

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $3$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\cot (2 x) \sin (6 x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $3$ .

$3$