Elementarmathematik Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $4$ von ${(2 - x)}^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{{(2 - lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.2.1.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2^{4} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6.2.1.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - x)}^{4} - 16}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(2 - x)}^{4} - 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{4}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 2 - x$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 - x] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.7

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 {(2 - x)}^{3} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $- 4 {(2 - x)}^{3}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 4 {(2 - x)}^{3}}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $- 4 {(2 - x)}^{3}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} - 4 {(2 - x)}^{3}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 4 lim_{x \to 0} {(2 - x)}^{3}$

Schritt 2.2

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(2 - x)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - x)}^{3}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$- 4 {(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$- 4 {(2 - lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Schritt 2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- 4 {(2 + 0)}^{3}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- 4 \cdot 2^{3}$

Schritt 2.5.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- 4 \cdot 8$

Schritt 2.5.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$- 32$