Elementarmathematik Beispiele

Berechne den Grenzwert Grenzwert von (cos(5x)-cos(x))/(4x^2), wenn x gegen 0 geht
Schritt 1
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 2
Wende die Regel von de L’Hospital an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 2.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 2.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
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Schritt 2.1.2.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 2.1.2.2
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 2.1.2.3
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 2.1.2.4
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 2.1.2.5
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 2.1.2.5.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 2.1.2.5.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 2.1.2.6
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 2.1.2.6.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 2.1.2.6.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.6.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 2.1.2.6.1.3
Der genau Wert von ist .
Schritt 2.1.2.6.1.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.6.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.3
Berechne den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 2.1.3.1
Ziehe den Exponenten von aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.
Schritt 2.1.3.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 2.1.3.3
zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt .
Schritt 2.1.3.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 2.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 2.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 2.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 2.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 2.3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 2.3.3
Berechne .
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Schritt 2.3.3.1
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 2.3.3.1.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 2.3.3.1.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 2.3.3.1.3
Ersetze alle durch .
Schritt 2.3.3.2
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.3.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 2.3.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.4
Berechne .
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Schritt 2.3.4.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 2.3.4.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 2.3.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.4.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.3.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 3
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 4
Wende die Regel von de L’Hospital an.
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Schritt 4.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
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Schritt 4.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 4.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
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Schritt 4.1.2.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 4.1.2.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 4.1.2.3
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 4.1.2.4
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 4.1.2.5
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.
Schritt 4.1.2.6
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 4.1.2.6.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 4.1.2.6.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 4.1.2.7
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 4.1.2.7.1
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 4.1.2.7.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.7.1.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.1.2.7.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.1.2.7.1.4
Der genau Wert von ist .
Schritt 4.1.2.7.2
Addiere und .
Schritt 4.1.3
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 4.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 4.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 4.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
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Schritt 4.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 4.3.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 4.3.3
Berechne .
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Schritt 4.3.3.1
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.3.3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
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Schritt 4.3.3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 4.3.3.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 4.3.3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 4.3.3.3
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von nach gleich .
Schritt 4.3.3.4
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.3.3.5
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.3.6
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 4.3.3.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 4.3.4
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 4.3.5
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 4.4
Dividiere durch .
Schritt 5
Berechne den Grenzwert.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.2
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.3
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 5.4
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.5
Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.
Schritt 6
Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von für alle .
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Schritt 6.1
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 6.2
Berechne den Grenzwert von durch Einsetzen von für .
Schritt 7
Vereinfache die Lösung.
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Schritt 7.1
Multipliziere .
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Schritt 7.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2
Vereinfache jeden Term.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 7.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.2
Der genau Wert von ist .
Schritt 7.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.4
Der genau Wert von ist .
Schritt 7.3
Addiere und .
Schritt 7.4
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 7.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 7.4.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 7.4.3
Forme den Ausdruck um.