Elementarmathematik Beispiele

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - 8}{x^{2} - x - 2}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 8}{x^{2} - x - 2}$

Schritt 1.2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 8}{x^{2} - x - 2}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 1 \cdot 8}{x^{2} - x - 2}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2^{3} - 1 \cdot 8}{x^{2} - x - 2}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{x^{2} - x - 2}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 - 8}{x^{2} - x - 2}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{0}{x^{2} - x - 2}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2} - x - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{0}{(x - 2) (x + 1)}$

Schritt 3.3

Dividiere $0$ durch $(x - 2) (x + 1)$ .

$0$