Elementarmathematik Beispiele

$\frac{lim_{x \to 0} \csc (x) - \cot (x)}{(x) \csc (x)}$

Schritt 1

Betrachte den linksseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{-}} \csc (x) - \cot (x)$

Schritt 2

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\csc (x) - \cot (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von links $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \csc (x) - \cot (x) \\ - 0.1 & - 0.0500417 \\ - 0.01 & - 0.00500004 \\ - 0.001 & - 0.0005 \\ - 0.0001 & - 0.00005 \\ - 0.00001 & - 0.000005 \end{array}$

Schritt 3

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der linksseitige Grenzwert von $\csc (x) - \cot (x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Betrachte den rechtsseitigen Grenzwert.

$lim_{x \to 0^{+}} \csc (x) - \cot (x)$

Schritt 5

Stelle eine Tabelle auf, die das Verhalten der Funktion $\csc (x) - \cot (x)$ zeigt, wenn sich $x$ von rechts $0$ annähert.

$\begin{array}{c} x & \csc (x) - \cot (x) \\ 0.1 & 0.0500417 \\ 0.01 & 0.00500004 \\ 0.001 & 0.0005 \\ 0.0001 & 0.00005 \\ 0.00001 & 0.000005 \end{array}$

Schritt 6

Mit Annäherung der $x$ -Werte an $0$ nähern sich die Funktionswerte $0$ an. Folglich ist der rechtsseitige Limes von $\csc (x) - \cot (x)$ für $x$ gegen $0$ gleich $0$ .

$\frac{0}{(x) \csc (x)}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Separiere Brüche.

$\frac{0}{x} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Schritt 7.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{0}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 7.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$\frac{0}{x} (1 \sin (x))$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{0}{x} \sin (x)$

Schritt 7.5

Dividiere $0$ durch $x$ .

$0 \sin (x)$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (x)$ .

$0$